Kostić je sebi oduzeo život 13. maja 1996. godine tako što je skočio u Dunav sa Pančevačkog mosta, a telo nikada nije pronađeno. Pevač je viđen kako skače preko ograde Pančevačkog mosta, a na mestu nesreće pronađena je Duškova torbica sa ličnim dokumentima.

Kostićevo telo nikad nije pronađeno i to je bio dovoljan povod za gradske priče.

Prema jednoj verziji, Duško je ubijen, a njegovo samoubistvo je inscenirano da bi se zločin prikrio. Bilo je i onih koji su verovali da je pevač bio u depresiji kada se ubio jer mu je popularnost drastično opala. Treća verzija, pak, sigurno je i najčudnija. Naime, Duško je sam iscenirao samoubistvo, nakon čega je pobegao u inostranstvo zbog ogromnih dugova.

Prave razloge verovatno niko nikada neće saznati, a njegova supruga Nevenka otkrila je jednom prilikom da joj neki detalji ove situacije i dalje nisu logični.

-U celom slučaju ima mnogo nelogičnosti. Jedini svedok navodnog samoubistva, nije siguran da je to bio Duško. On je izjavio da je samo video nekog čoveka kako skače- otkrila je Nevenka svojevremeno.

Nekoliko dana nakon tragedije na adresu gospođe Nevenke, ali i adresu kuće Duškovih roditelja u Leskovcu stiglo je pismo sa kratkom porukom: „Mnogo vas volim, oprostite mi“.